一、電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展概況

     自1864年著名的Maxwell方程組發(fā)表，至今己有一百多年的歷史。電抗器電磁場(chǎng)計(jì)算的發(fā)展與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和應(yīng)用密不可分，從經(jīng)典的微積分到張量分析、矩陣計(jì)算、特征值理論、泛函分析方法、復(fù)變函數(shù)理論和積分方程理論都被引入到電磁場(chǎng)理論的分析中。

     在計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展以前，工程問(wèn)題的解決主要依賴于解析法和場(chǎng)化路的簡(jiǎn)化法，這些方法在電工產(chǎn)品的設(shè)計(jì)中曾起了重要的歷史作用。但是，大量的工程問(wèn)題包含了復(fù)雜的幾何、物理參數(shù)，對(duì)此解析法和簡(jiǎn)單的場(chǎng)化路的方法是無(wú)能為力的。1960年后，電抗器電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展日新月異，各種電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法相繼發(fā)表，如有限差法、有限元法，邊界元法、矩量法以及數(shù)值法與解析法或不同數(shù)值法之間的耦合等。

     有限差分法是應(yīng)用最早的一種方法．20世紀(jì)50年代以來(lái)，有限差分法以其數(shù)學(xué)概念清楚、形成系數(shù)矩陣十分方便等特點(diǎn)，在電磁場(chǎng)數(shù)值分析領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。但有限差分法的規(guī)則網(wǎng)格不能滿意地模擬幾何形狀復(fù)雜的問(wèn)題，而在電工設(shè)備中的電抗器電磁場(chǎng)卻往往是以包含復(fù)雜的幾何形狀和不同材料的物理參數(shù)為特征，因此有限差分法在電磁場(chǎng)分析中的應(yīng)用逐漸被有限元法替代。

     二十世紀(jì)60年代末，P．Silverer和M．v．K．Chaff把有限元法引入到電磁計(jì)算中，這是電磁場(chǎng)數(shù)值分析中的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。有限元法以變分原理為基礎(chǔ)，用剖分插值的辦法建立各自由度間的相互關(guān)系，把泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組多元代數(shù)方程來(lái)求解．它能使復(fù)雜結(jié)構(gòu)、復(fù)雜邊界情況的邊值問(wèn)題得到解答。

     最近20年，由于數(shù)值處理技術(shù)的提高，例如采用不完全Cholesky分解法、ICCG法、自適應(yīng)網(wǎng)格剖分等方法，使得有限元法在電場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中越來(lái)越占據(jù)主導(dǎo)地位。其突出特點(diǎn)在于：(1)場(chǎng)域離散化過(guò)程保持了明顯的物理意義；(2)解題能力強(qiáng)，這主要表現(xiàn)在：能夠處理邊界幾何形狀復(fù)雜、場(chǎng)域中存在多種媒質(zhì)的問(wèn)題；對(duì)于第二和第三類邊界不必作單獨(dú)處理；能夠自動(dòng)滿足不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件；離散點(diǎn)分布具有隨意性；計(jì)算精度較高；程序通用性強(qiáng)；(3)從數(shù)學(xué)上講，有限元法拓寬了微分方程的求解方法，推動(dòng)了泛函分析、計(jì)算方法的發(fā)展。

     因此，自有限元法誕生以來(lái)，在各個(gè)學(xué)科與工程領(lǐng)域內(nèi)，該方法得到了極其廣泛的重視和應(yīng)用，產(chǎn)生了大量有價(jià)值的研究成果。80年代初期，由Nedelec、Bossavit和Verite開(kāi)創(chuàng)的棱邊有限元法，在交接處理、解的穩(wěn)定性、計(jì)算代價(jià)等方面顯示出了巨大優(yōu)勢(shì)，成為有限元發(fā)展中新的成就之一。有限差分法和有限元法都屬于偏微分方程法。而邊界元法則是在經(jīng)典的邊界積分方程法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。積分方程法由C．W Trowbridge于1972年提出，并給出了二維、三維問(wèn)題的離散形式。

     由于積分方程法的離散僅需在源區(qū)進(jìn)行，所以能較好地解決開(kāi)域問(wèn)題以及連續(xù)計(jì)算場(chǎng)的問(wèn)題．1976年出現(xiàn)了以積分方程法為基礎(chǔ)、能解二維、三維非線性恒定磁場(chǎng)的軟件包GFUN。如果采用格林定理，把描述場(chǎng)的第二類Fredlholm積分方程在一定條件下轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，積分方程法就成了邊界元法。1979年，Lean、Friedman和Wexler用“邊界元法”這個(gè)名稱系統(tǒng)地介紹了它在各種電抗器電磁場(chǎng)分析中的應(yīng)用。目前，邊界元法不僅在固體力學(xué)問(wèn)題上得到廣泛的應(yīng)用，而且在電磁學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域也得到應(yīng)用，已經(jīng)成為電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法的主要方法之一嘲。

      二、目前，電抗器電磁場(chǎng)數(shù)值分析大體上出現(xiàn)了以下幾個(gè)發(fā)展趨勢(shì)：

      (1)原有方法的不斷完善和改進(jìn)。如三維運(yùn)動(dòng)電磁系統(tǒng)的并行處理和耦合問(wèn)題、各種幾何建模方式的改進(jìn)、有限元周期邊界的新處理方法、網(wǎng)格快速可靠全自動(dòng)自適應(yīng)生成、后驗(yàn)誤差估計(jì)與自適應(yīng)新方法、有限元分片多項(xiàng)式方法以及三維渦流的三分量邊界元法等。

      (2)耦合方法的研究與應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。如有限元法與邊界元法的耦合、有限元法與模擬電荷法的耦合、有限元法與積分方程法的耦合、有限元法與多重網(wǎng)格法的耦合等。近年又出現(xiàn)邊界元與多極理論耦合法、保角變換與邊界元法的耦合、等效源與矩量法的耦合、有限元級(jí)數(shù)耦合法以及全日棱邊有限元與邊界元耦合算法等。耦合法能實(shí)現(xiàn)不同方法的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，解決多子域、多連通域的復(fù)雜問(wèn)題。

     (3)新方法的開(kāi)發(fā)應(yīng)用以及新技術(shù)的不斷融入。比如棱邊有限元法、疊層有限元法、有限元的外推插值法、無(wú)限元法、針對(duì)時(shí)變電磁場(chǎng)渦流及趨膚效應(yīng)研究提出的表面阻抗法等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分析在電磁場(chǎng)中的應(yīng)用日益增多，比如已經(jīng)出現(xiàn)的“小波伽遼金”有限元法、插值小波在差分法中的應(yīng)用、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在電磁場(chǎng)優(yōu)化中的應(yīng)用、遺傳算法、模擬退火算法在電磁場(chǎng)逆問(wèn)題中的應(yīng)用、以場(chǎng)矢量沿單元棱邊的線積分為求解變量的棱邊單元法等一些新方法。

     三、三維渦流場(chǎng)研究現(xiàn)狀

     磁場(chǎng)根據(jù)其變化速度分為三大類，即靜磁場(chǎng)、渦流場(chǎng)(準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng))和高頻場(chǎng)。三維靜磁場(chǎng)計(jì)算目前較成熟，高頻場(chǎng)計(jì)算有其特殊性，出現(xiàn)了相應(yīng)的一些新方法，而渦流場(chǎng)的計(jì)算是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。它的分析較之靜態(tài)電磁場(chǎng)的分析復(fù)雜，困難在于渦流場(chǎng)的計(jì)算規(guī)模大，以至于有些實(shí)際闖題的求解在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)上還難以進(jìn)行，這除了電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化之外，還有如材料的非線性、磁滯等因素的影響。因此三維渦流場(chǎng)的求解問(wèn)題至今仍然是電磁場(chǎng)學(xué)術(shù)界研究的前沿課題之一。

     二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，國(guó)際電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算界對(duì)三維渦流場(chǎng)的計(jì)算進(jìn)行了仔細(xì)、深入的研究，給出了描述禍流場(chǎng)的多種方法I刀。所采用的方法為以場(chǎng)矢量為變量的直接法以位函數(shù)為變量的間接法兩類。直接法指在方程求解中直接以電場(chǎng)強(qiáng)度矢量層和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量日等電磁場(chǎng)量為求解對(duì)象的方法，如Bossavit提出的H．oriented和E．oriented對(duì)偶解問(wèn)題。在國(guó)內(nèi)，程志光博士應(yīng)用E-v方法于電力變壓器電磁場(chǎng)研究，很好地解決了工程實(shí)際中的問(wèn)題。直接法的優(yōu)點(diǎn)在于能保證解的唯一性，精度較高，缺點(diǎn)是未知量較多，邊界條件的處理比較繁雜，方程計(jì)算量大。

     因此，對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求較高。間接法以位函數(shù)為求解變量，具有靈活、方便的優(yōu)點(diǎn)，是目前被廣泛采用的方法。間接法的首次提出是在1981年的COMPUMAG會(huì)議上由ChaffBiddlecombe和Morisue等人分別提出的，其核心是用磁矢量位4來(lái)描述全部場(chǎng)域(包括渦流區(qū)和非渦流區(qū))，用標(biāo)量電位妒來(lái)描述導(dǎo)體區(qū)渦流的A，妒4法。該方法******的優(yōu)點(diǎn)是不需要進(jìn)行交界面的處理，而且計(jì)算精度較高，可用于含有多連域?qū)w區(qū)的情況，但未知數(shù)個(gè)數(shù)較多，求解變量較大。

     與基于矢量磁位4的算法相對(duì)應(yīng)的是一種基于矢量電位r的算法引。與4妒4相對(duì)的算法為T，妒．1I法，妒為標(biāo)量磁位。該方法既不需要進(jìn)行交界面的處理，又可以節(jié)省計(jì)算機(jī)資源(在非渦流區(qū)采用了標(biāo)量磁位妒)一是一種較好的方法。但它不適用于多連通域的情況。A法和r法都是基于有限元法的基本方法。在這兩種方法的基礎(chǔ)上，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)以及電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算理論的發(fā)展，不斷提出了一些改進(jìn)的方法。如可將源電流歸入渦流區(qū)的A，妒．妒法；用矢量磁位A描述多連通域中的孔，耦合矢量磁位與矢量電位的r，妒法。  

     此外隨著邊界元技術(shù)的發(fā)展，非渦流區(qū)的微分方程可以轉(zhuǎn)化為渦流區(qū)邊界積分方程進(jìn)行求解。如在渦流區(qū)采用，為求解量，在非渦流區(qū)采用磁場(chǎng)強(qiáng)度日為求解量的有限元與邊界元耦合法；以及在渦流區(qū)采用A和艫為求解量，交界面上用A為求解量的Aq,-A有限元與邊界元耦合法。

     此外還有用棱邊與節(jié)點(diǎn)有限元耦合的曰一E一妒法；直接用電密_，計(jì)算導(dǎo)體三維渦流場(chǎng)的FE．BE耦合法；用日棱邊的有限元法；三維瞬態(tài)渦流場(chǎng)混合日一妒法等。9dsl從當(dāng)前電抗器電磁計(jì)算的發(fā)展前沿來(lái)看，有限元法仍被認(rèn)為是最有效、應(yīng)用最普遍的一種數(shù)值計(jì)算法。有限元法不僅本身在應(yīng)用方面具有很大的潛力，而且易與其它理論和方法如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、耦合問(wèn)題、開(kāi)域問(wèn)題、高磁性材料及具有磁滯及飽和非線性特性介質(zhì)的處理等相結(jié)合，有著廣闊的發(fā)展前景。新方法、新技術(shù)的不斷應(yīng)用，進(jìn)一步開(kāi)拓了有限元法的應(yīng)用范圍，也適應(yīng)了更復(fù)雜的、精確度要求更高的問(wèn)題求解之需要。

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